高数/4.微分方程/知识点方法简明总结/

微分方程知识点_withMarginNotes

微分方程考试大纲考试内容常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利（Bernoulli）方程 全微分方程 可用简单的变量代换求解的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉（Euler）方程微分方程的简单应用差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶常系数线性差分方程考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念 2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程4．会用降阶法解微分方程5．理解线性微分方程解的性质及解的结构 6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程 7．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程 8．会解欧拉方程9．会用微分方程解决一些简单的应用问题 了解差分与差分方程及其通解与特解等概念 了解一阶常系数线性差分方程的求解方法 会用微分方程求解简单的经济应用问题概念微分方程微分方程的阶微分方程的解微分方程的通解微分方程的特解微分方程的初始条件线性微分方程解的性质齐次方程解的线性组合仍为齐次方程的解 齐次方程的解加非齐次方程的解为非齐次方程的解 非齐次方程解的差为齐次方程的解 非齐次方程解的线性组合 系数和为0为齐次方程的解 系数和为1为非齐次方程的解二阶线性微分方程解的结构一阶微分方程可分离变量方程解微分方程任意常数的写法一侧为框框的函数整体代换，框框换成u 等式两端对x求导 代入题干转化为u关于x的可分离变量 两端同时积分解u 转化回去一侧为x分之y的函数（齐次方程）一侧为xy线性组合的函数一阶线性（齐次）方程框框y撇除框框xy撇除x2yy撇三角y撇其他框框dx框框dydx前面是y，dy前面是x转化为可分离齐次结构同除dx同除dy/dx前的系数转化为齐次非齐次结构x最高次比y次数高同除dx同除dy/dx前的系数转化为y关于x的一阶线性y最高次比x次数高同除dy同除dx/dy前的系数转化为x关于y的一阶线性最高次相同按第一种尝试 行不通再颠倒dy/dx全微分方程（数学一二）偏积分全微分（观察法）二类线（取折线）Bernoulli 方程（数学一）伯努利，1—阿尔法消右边y，左边凑高阶微分方程常系数二阶常系数线性二阶常系数线性齐次y改写为r（导几次就几次方） 解特征方程 三种情况二阶常系数线性非齐次特解待定系数非齐次项f(x)不含三角指数照抄 多项式次数相同 乘高次幂 非齐次项f(x)含三角指数照抄 多项式取高次 乘高次幂高阶常系数线性齐次差分方程（数学三）一阶常系数线性差分方程二阶差分差两次转化为一阶差分二阶变系数将题干给的换元代入二阶可降阶（数一二）不显含y型令y撇=p，y两撇=p撇 转化为p关于x的一阶微分方程 不显含x型立y撇=p，y两撇=p撇=p对x导 同乘dy 转化为p关于y的一阶微分方程 解出来p=g(y),即y撇=dy/dx=g(y) 转化为y关于x的可分离变量欧拉方程（数学一二）识别：二次方二阶导 一次方一阶导 0次方不求导 做法：令x等于e的t次方x方y撇=Dy x方y两撇=D方y-Dy 代入后转化为 y关于t的二阶常系数线性（非）齐次 求通解 t=lnx换回来三角换元反函数微分方程综合题导数定义含德尔塔x 同德尔塔x 等式两端同时取极限 分离变量后两端同时对x积分 含f(x+y)写导数定义，套题干方程导数应用切法线切点为动点定积分应用面积体积端点为动点含变限积分若f连续 f无穷阶可导且含有初始条件如果导下去能做就一直导如果导出来高阶变系数就不导了重新构造辅助函数（换元）令变限积分=g(x),则f=g撇二重积分二重积分积分区域含t（变区域）