高数/6.二重积分/知识点方法简明总结/

二重积分知识点方法简明总结_withMarginNotes

二重积分二重变限积分求极限交换积分次序，洛必达二重积分中值定理 （需满足被积函数在这个点是非零因子）交换积分次序直角坐标穿针，盯针Euler可积不可求积可积：定积分存在不可求积：求不出原函数上限一定要比下限大（即穿针后定上下限应是从左到右，从下到上）反三角函数极坐标先θ后r：xy坐标系引射线先r后θ： xy坐标系： 任取r，以原点为圆心，r为半径做圆弧，交积分区域，看θ范围 建立θ和r自己的坐标系： 穿针（相当于直角坐标换序）考研从未考过，请同学们务必重视二重积分计算准备工作观察被积函数线性函数f(x,y)=ax+by+c拆开，利用形心公式计算被积函数是x：=形心横坐标×D面积 被积函数是y：=形心纵坐标×D面积 形心（几何中心）：对称轴交点带绝对值，最大最小值，取整令绝对值内部等于零找到分界线利于区域可加性分区域拆开计算画图，观察积分区域函数图像画不出来 描特殊点比如x=0，y=0 将积分区域表达式中x换成-x表达式不变则区域关于y轴对称y换成-y表达式不变则区域关于x轴对称xy互换表达式不变则区域关于y=x对称(x,y)换成(-x,-y)表达式不变则区域关于原点中心对称x换成-y，y换成-x表达式不变则区域关于y=-x对称化成极坐标，观察r,θ走势，秒点画图积分区域有显著对称性关于X轴或Y轴对称D关于X轴对称，f看y的奇偶性 D关于Y轴对称，f看x的奇偶性偶倍奇零关于原点对称关于y=x对称D关于y=x对称xy互换D不变区域D的不等式组中xy互换，不等式组不变区域D的边界曲线方程中xy互换，方程不变广义轮换对称整块区域用分两块使用D分成位于y=x下方和上方的两块分别是D1,D2积分区域难以处理做辅助线，构造对称区域增补区域开始计算直角坐标x型区域y型区域特殊适用情况积分区域D由参数方程给出（摆线）极坐标逆问题极坐标适用情况：被积函数含平方和积分区域出现平方和（圆相关，玫瑰线，双纽线） 平方和消θ区域以极坐标表示的曲线给出 （心形线，螺线） 被积函数为齐次（xy次数相同）函数f(y/x) 齐次消r两类重要的偏心圆r=±2asinθ/r=±2acosθ简记 r=符号直径s/c正半轴，负半轴a半径，2a直径 cosX轴，sinY轴广义极坐标推广r和θr是(x,y)到圆心的距离θ是与x轴正方向夹角画小三角形确定关系平移变换xy加减常数换成uv积分区域换，被积函数换，微分换建立uv坐标系压科比行列式觉得积分区域和被积函数里的哪两块不舒服令其等于uv解出xy换元三换（都换成uv的）积分区域换（xy代入边界曲线）被积函数换微分换（雅可比行列式dudv）二对二换元用科比一对一换元直接dx，dy导出来补充二重积分的被积函数是1求D面积在D上对1二重积分定积分（极坐标方程）四等分型积分区域关于xy轴对称（积分区域所有xy套平方或绝对值）被积函数关于xy都为偶函数（被积函数所有xy套平方或绝对值）