高数/7.级数/知识点/

【分块】级数知识点

无穷级数考试大纲考试内容与考试要求考试内容常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与ρ级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 交错级数与莱布尼茨定理 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 函数项级数的收敛域与和函数的概念 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域 幂级数的和函数 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式 函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数狄利克雷（Dirichlet）定理 函数在［－l,l］上的傅里叶级数 函数在［0,l］上的正弦级数和余弦级数 考试要求1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念， 掌握级数的基本性质及收敛的必要条件 2．掌握几何级数与ρ级数的收敛与发散的条件 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法、根值判别法，会用积分判别法 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法 8．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分）， 会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件 10．掌握e的x，sinx，cosx，ln（1+x）及（1+x）的α次方的麦克劳林（Maclaurin）展开式， 会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数 11．了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理， 会将定义在［－l,l］上的函数展开为傅里叶级数， 会将定义在［0,l］上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式常数项级数预备知识三个重要极限无穷大比阶级数的概念定义性质收敛+收敛=收敛 收敛+发散=发散 发散+发散=不一定 正项级数：发散+发散=发散增减有限项不改变级数敛散性 加括号提升收敛性，加绝对值降低收敛性收敛级数加括号仍收敛 加括号后收敛，原级数不一定收敛级数收敛的必要条件：收敛级数通项极限为0绝对收敛与条件收敛的定义绝对收敛：级数加绝对值后收敛条件收敛：级数收敛，但级数加绝对值发散绝对收敛与条件收敛的性质绝对收敛的级数本身一定收敛绝对收敛的级数所有正项或负项组成的级数均收敛条件收敛的级数所有正项或负项组成的级数均发散 绝对±绝对=绝对 绝对±条件=条件 条件±条件=收敛 绝对收敛X收敛=绝对收敛级数审敛具体审敛流水线正项级数各项均非负比较判别法只关心n足够大的时候 放缩或等价 三个对象三句话一般形式（放缩）函数不等式基本不等式分数放缩分母越小，分数就越大sincos的绝对值/平方框框≤1极限形式（等价）三个对象三句话同阶同敛散大收则小收小散则大散比值判别法适用：含有n的阶乘 若ρ=1，考虑级数收敛必要条件或比较判别法根值判别法适用：含有n次方若ρ=1，考虑级数收敛必要条件或比较判别法积分判别法正项级数收敛充要条件推论正项级数收敛奇数项/偶数项构成的级数均收敛交错级数正负项相间Leibniz判别法sin创造交错级数有理化交错p级数任意项级数具体任意项级数审敛思路盯住目标：题干有绝对条件/级数为任意项（正负不确定） 直接加绝对值，转化为正项级数 比较/定义，若收敛原级数绝对收敛泰勒拆分抽象三板斧级数反例大观反证法反驳型人格，假设结论相反，若推出与已知条件/大自然基本规律矛盾，则假设错误，即原命题成立条件反射大观收敛通项极限为0有界性当n趋于∞，数列离0要多近有多近，必小于1 可将数列放缩为1发散级数发散绝对值也发散an单减，抽象交错级数发散an极限不为0大小关系已知正项级数比较审敛法一般形式若无正项级数大小构造正项级数适用比较审敛法 正项加绝对值仍为本身，若正项收敛，则绝对收敛加减法构造所需级数绝对值相加放缩：≧每一项幂级数收敛半径抽象常数项级数幂级数收敛半径/区间/域收敛域：收敛点的全体 收敛区间：不带端点 收敛中心：收敛域的中心收敛半径：中心到端点的长度阿贝尔定理一点收敛内部绝对收敛一点发散外部一定发散 收敛区间内：绝对收敛 收敛区间外：发散 收敛区间的端点：都有可能 若在某点条件收敛，则该点一定为收敛区间的端点具体n的阶乘比值定理n次方根值定理缺项/函数项级数根值/比值判别法根式爆破法求和与展开展和关系等比级数（子型）对数反正切（母型无阶乘）指数正余弦（母型有阶乘）求和已知幂级数，求和函数幂级数求和三大类型子型先积后导转化为等比级数 拆项配凑老三样母型先导后积转化为常见级数 后积：逆用牛莱拆开后配凑常见级数 目标：分母与x次数一致 母型有阶乘拆项处理分子目标：往阶乘靠拢，方便n平方n(n-1) n立方n立方-1+1 拆开后处理分母(1)通过下标代换转化为 n的阶乘/2n的阶乘/2n+1的阶乘/n(2)分母没问题就配凑x的系数操作手法配凑x的次数x次数不够内部乘x，外部乘1/x x次数高了往外提取x x次数是二倍把x方看成整体下标代换下标减，通项加/下标加，通项减细节处理级数求导原级数第一项是常数，求导后消失，下标升一原级数无常数项，求导后下标不变 s(0)s(x)分段需要分段的情况：遇到无定义的点分母为0 Ln0 s(x)在这一点取值的求法级数定义 对sx取极限 和函数在收敛域连续极限等于函数值缺项与展和关系角标不一致多退少补微分方程2n/3n/4n的阶乘收敛域 s导一次和两次建立微分方程 s(x)无穷阶可导解微分方程 s(x)隐含初始条件系数以递推数列给出常数项级数求和两种思路级数定义：前n项和极限 常数项级数转化为幂级数： 常数项级数即幂级数代入一点展开将函数展开为幂级数常见题型二次函数分之一分母因式分解，拆项 若所需不是x的幂级数（如x-1）分母拆出题干需要的幂函数 提项向等比推广靠拢 整体套等比幂级数展开，算收敛域 合并整理的平/立方分之一先当成分之一，按等比做 求导一次产生平方求导两次产生立方对数若ln分式 ln里的是外面的若ln内可因式分解ln里的是外面的构造出ln若所需不是x的幂级数（如x-1）ln里拆出题干需要的幂函数 若不是ln（1+）在ln内提常数， ln里的是外面的构造出ln（1+） 整体套ln幂级数展开，算收敛域 合并整理arctan先导，按等比做，后积最后写x范围一定要验证端点： 若端点处级数收敛且函数有定义则要 若端点处函数无定义/级数发散则不要反正切恒等式多个函数相加展开先导后积细节问题级数拆分与合并聚焦首项幂级数可以拆分为 首项（数字）余项（级数） 幂级数-常数可以合并考虑剥离首项，新级数从第二项开始 收敛域问题求导/积分收敛区间不变 求导：收敛域不变/变小（丢掉端点） 积分：收敛域不变/变大（端点回归）傅里叶级数（仅数学一）定义口诀：ancos，bnsin，l顶起nπx狄利克雷收敛定理x连续点，s(x)=f(x) x间断点，左右极限平均值 区间端点，左端点右极限和右端点左极限的平均值为一类，跳跃点相加取平均若傅里叶级数为正弦级数，则s为以2l为周期的奇函数 若傅里叶级数为余弦级数，则s为以2l为周期的偶函数